Объемная плотность энергии. Объемная плотность энергии электрического поля и выражение механической силы в виде производной от энергии электрического поля по изменяющейся координате Плотность энергии электрического поля определяется формулой

В случае действительных величин объёмная плотность энергии электромагнитного поля определяется выражением:

Если рассматривать векторы и как векторы с комплексными составляющими, то для получения действительного выражения для объёмной плотности энергии электромагнитного поля необходимо воспользоваться описанным выше приёмом:

Выражение (8) определяет «мгновенное» значение объёмной плотности электромагнитной энергии в рассматриваемой точке пространства, т.е. значение в некоторый момент времени t . Зависимость (8) представляет собой практически сумму квадратов действительных величин и поэтому является положительно определенной зависимостью. Её численные значения могут изменяться от нуля до некоторой максимальной величины. Представляет интерес вычисление средней по времени величины объёмной плотности энергии электромагнитного поля плоской волны. Средняя по времени физическая величина определяется по правилу:

. (9)

Для гармонических во времени процессов величину выбирают равной периоду колебаний , а начало отсчёта выбирают равным нулю.

Легко видеть, что имеют место соотношения:

;

; (10)

Аналогичные результаты справедливы и для векторов напряжённости магнитного поля.

С учётом полученных результатов средняя по времени величина объёмной плотности энергии электромагнитного поля в рассматриваемой точке пространства может быть описана зависимостью

Выражение (11) является локальным, действительным и положительно определённым. С его помощью можно вычислить энергию электромагнитного поля в некоторой области пространства:

, (12)

где энергия электрического поля и энергия магнитного поля определены соотношениями

, . (13)

Интегрирование в соотношениях (13) проводится по объёму рассматриваемой области пространства. Эти выражения ниже будут использованы при анализе балансовых энергетических соотношений.

Вектор Умова-Пойнтинга .

Плотность потока энергии электромагнитного поля, как известно, определяется выражением

При необходимости использовать результаты метода комплексных амплитуд действительное (вещественное) выражение для вектора записывают в виде:

Оценивая векторные произведения в соотношении (15), получаем:

;

В результате осреднения по времени зависимости (15) для мгновенного значения вектора плотности потока энергии приходим к соотношению:

. (16)

Таким образом, получают постоянную во времени векторную величину с вещественными компонентами. Интересно, что – формально - полученное выражение является действительной частью комплексного выражения

Это порождает возможность ввести в рассмотрение «комплексный вектор Умова-Пойнтинга»:

. (18)

Обоснованием целесообразности такого приёма служит соотношение:

Физическое содержание соотношения (19) заключается в том, что среднее по времени от вектора плотности потока энергии электромагнитного поля в гармоническом приближении (вещественная постоянная векторная величина!) может быть вычислено как действительная часть комплексного вектора Умова-Пойнтинга.

Объёмная плотность мощности .

Для действительных величин объёмная плотность мощности вычисляется по выражению

Выражение (20) – произведение двух гармонических величин - является нелинейным, поэтому для получения действительной величины в методе комплексных амплитуд требуется исходить из соотношения:

Зависимость (21) определяет действительное (вещественное) значение объёмной плотности мощности в произвольный момент времени. Поскольку рассматриваемая величина осциллирует во времени, можно ввести осреднённую по времени величину объёмной плотности мощности аналогично тому, как это было сделано выше при рассмотрении объёмной плотности энергии:

Анализ выражения (22) показывает, что можно ввести комплексную плотность мощности

поскольку легко проверяется соотношение

. (24)

Теперь можно приступить к рассмотрению балансовых энергетических соотношений в неоднородной плоской электромагнитной гармонической волне.

Комплексный аналог теоремы Пойнтинга .

Уравнения Максвелла – уравнение электромагнитной индукции и уравнение полного тока в дифференциальной форме – запишем с использованием гармонического приближения:

Заметим, что уравнения (25)-(26) справедливы, если форма зависимости гармонических величин от времени определена соотношениями (6).

Если , то имеет место , поскольку из первого уравнения следует и . Другими словами говоря, если справедливо линейное уравнение для комплексной величины, то справедливо и комплексно сопряжённое уравнение. Воспользуемся этим математическим утверждением и запишем уравнение (26) в комплексно сопряжённой форме:

Умножим уравнение (25) скалярно на вектор , а уравнение (27) – на вектор :

Вычтем из уравнения (28) уравнение (29):

Левая часть уравнения (30) может быть преобразована:

В принципе, здесь использовано известное векторное тождество, его можно проверить непосредственным вычислением в декартовой системе координат, а можно воспользоваться символическим методом и определением дифференциального векторного оператора «набла» (или оператора Гамильтона) . Продемонстрируем этот метод. Рассмотрим дивергенцию векторного произведения двух векторных полей:

Для того чтобы можно было пользоваться обозначением как просто векторной величиной, перепишем предыдущее соотношение с учётом дифференциального характера оператора набла:

где индексом «с» помечены условно постоянные величины, их можно «выносить» за символ дифференциального оператора . Теперь полученное выражение можно рассматривать просто как сумму двух смешанных произведений трёх векторов. Известно, что смешанное произведение трёх векторов может быть записано в нескольких эквивалентных формах. Нам необходимо выбрать такую форму, чтобы «вектор » не оставался в крайней правой позиции: как дифференциальный оператор он должен на что-нибудь действовать.

Согласно азам физики, известно о наличии магнитного поля вокруг проводника или катушки с током. Данное поле в полной мере зависит от проводника, среды распространения поля и силы тока. Аналогично электрическому полю, магнитное поле является неким носителем энергии. Поскольку основным критерием, влияющим на энергию поля, является сила протекающего тока, то работа тока по созданию магнитного поля будет совпадать с энергией магнитного поля.

Энергия магнитного поля

Природу такого явления, как энергия магнитного поля, проще осознать, рассмотрев процессы, проходящие в цепи.

Элементы схемы:

L – катушка индуктивности;
Л – лампочка;
ε – источник постоянного тока;
К – ключ для замыкания и размыкания цепи.

При замкнутом ключе, согласно картинке (а), ток протекает от плюсовой клеммы источника тока по параллельным веткам через катушку индуктивности и лампочку. По катушке индуктивности протекает ток I0, а через лампочку протекает ток I1. В первый момент времени лампочка будет гореть более ярко, ввиду большого сопротивления катушки индуктивности. По мере уменьшения сопротивления катушки индуктивности и увеличения тока I0 лампочка будет гореть более тускло. Это объясняется тем, что в первый момент времени поступивший на катушку ток пропорционален току большой частоты, исходя из формулы индуктивного сопротивления катушки:

XL=2πfL, где:

XL – индуктивное сопротивление катушки;
f – частота тока;
L – индуктивность катушки.

Индуктивное сопротивление катушки возрастает многократно. Катушка индуктивности в этот момент времени ведет себя как разрыв цепи. Со временем индуктивное сопротивление снижается до нуля. Поскольку активное сопротивление катушки индуктивности ничтожно мало, а сопротивление нихромовой нити лампочки велико, то практически весь ток цепи протекает через катушку.

После размыкания цепи ключом К, согласно картинке (б), лампочка не тухнет, а, наоборот, загорается более ярким светом и постепенно гаснет. Для осуществления горения лампочки необходима энергия. Энергия эта берется из магнитного поля катушки индуктивности и называется энергией магнитного поля. Благодаря этому катушка индуктивности выступает как источник энергии (самоиндукции), согласно картинке (в).

Определить активность магнитного поля возможно, рассмотрев электрическую схему.

Для расчета энергии магнитного поля есть необходимость в создании такой схемы, в которой энергия источника питания расходовалась бы непосредственно на образование магнитного поля. Соответственно, в схеме выше значениями внутреннего сопротивления источника питания и катушки индуктивности нужно пренебречь.

Обратите внимание! Из второго закона Кирхгофа следует, что сумма напряжений, подключенных к цепи, равна сумме падений напряжений на каждом из элементов цепи.

Общее напряжение цепи равно:

ε+εі=Ir+IR, где:

ε – электродвижущая сила (напряжение) источника питания;
εi – электродвижущая сила (напряжение) индукции;
I – сила тока цепи;
r – внутреннее сопротивление источника питания;
R – внутреннее сопротивление катушки индуктивности.

Поскольку рассмотренная цепь идеальная, и внутренние сопротивления равны нулю, то формула преобразовывается в такую:

Электродвижущая сила самоиндукции зависит от индуктивности катушки и скорости изменения тока в цепи, а именно:

подставив значение в общую формулу, получается:

ε-LΔI/Δt=0,
ε= LΔI/Δt,
ΔI= ε Δt /L.

Исходя из данной закономерности, с течением времени сила тока равняется:

Заряд, пройденный через катушку индуктивности, равен:

Объединив обе формулы, получаем:

Работа источника тока по переносу заряда по катушке индуктивности равняется:

A= εq=εLI2/2ε=LI2/2.

Поскольку рассматриваемая цепь является идеальной, а именно отсутствует какое-либо сопротивление, то затраченная работа источника тока пошла на формирование магнитного поля и соответствует энергии магнитного поля:

С целью исключения зависимости активности магнитного поля от характеристики катушки, необходимо преобразовать выражение через характеристику поля, а именно через вектор магнитной индукции:

B=µ0µIn, где:

B – вектор магнитной индукции соленоида;
µ0 – магнитная постоянная (µ0=4π×10-7 Гн/м)
µ – магнитная проницаемость вещества;
I – сила тока в цепи соленоида;
n – плотность намотки, (n=N/l, где N – число витков, l – отрезок длины соленоида).

L=µ0µn2V, где:

V – объем катушки (или объем магнитного поля, сосредоточенного в катушке) (V=Sl, S – площадь поперечного сечения соленоида, l – длина соленоида).

Если воспользоваться формулами (1 и 2), выражение, определяющее энергию магнитного поля, выглядит как:

Wмаг=B2V/2µ0µ.

Рассмотренная формула справедлива при условии, что фон однотипный. Если поле неоднородное, то необходимо рассматривать параметр, характеризующий концентрацию активности в этой зоне. Эта величина именуется как объемная плотность энергии магнитного поля.

Объемная плотность магнитной энергии

Она определяется по выражению:

ωмаг=Wмаг/V, где:

ωмаг – объемная плотность энергии магнитного поля;
V – объем некой зоны, где создано магнитное поле.

Единицей измерения объемной плотности энергии магнитного поля является отношение – Дж/м3.

Подставив в искомое выражение значение энергии поля W маг, получаем окончательную формулировку, определяющую объемную плотность:

ωмаг= B2/2µ0µ.

Изложенная информация подробно раскрывает порядок нахождения такого параметра поля, как энергия магнитного поля. Поскольку указанная величина применима для однородного поля, то для проведения вычислений в неоднородном магнитном поле используется величина, определяющая концентрацию или плотность энергии поля.

Видео

Положим, что в некоторый момент времени напряжение на конденсаторе равно и. При увеличении напряжения на конденсаторе на du заряд на одной из пластин конденсатора увеличится на dQ, а на другой - на -dQ, dQ-C du, где С- емкость конденсатора.

Для переноса заряда dQ источник энергии должен совершить работу и dQ = C и du, которая затрачивается на создание электрического поля в конденсаторе.

Энергия, доставленная источником при заряде конденсатора от напряжения и = 0 до напряжения u = U и перешедшая в энергию электрического поля конденсатора, равна

Рассмотрим вопрос об объемной плотности энергии электрического поля. Для этого возьмем плоский конденсатор и положим, что расстояние между пластинами его равно х, а площадь каждой пластины с одной стороны равна S. Диэлектрическая проницаемость среды между пластинами е а. Напряжение между пластинами U Пренебрежем искажающим влиянием краев конденсатора на поле между пластинами. При этом условии поле можно считать равномерным. Напряженность электрического поля по модулю: E = U/x. Вектор электрической индукции по модулю: ?> = е, E-QIS. Емкость плоского конденсатора С = е. Six. Для нахождения объемной плотности энергии электрического поля разделим энергию W = С?/ 2 /2*е а S(J 2 /(2x) на объем У = S х, «занятый» полем. Получим У,1У = г ш Е 2 12 = Е 0/2.

Таким образом, объемная плотность энергии электрического поля равна е а Е 2 12. Если поле неравномерно, то напряженность будет изменяться при переходе от одной точки поля к соседней, но объемная плотность энергии поля будет по-прежнему равна е, Е 2 12, так как в пределах бесконечно малого объема поле можно считать равномерным

Выделим в поле элементарный объем dV. Энергия в этом объеме равна (е а E l l2)dV. Энергия, заключенная в объеме У любых размеров, равна |е а E 2 l2dV. В электрическом

поле между заряженными телами действуют механические силы и их можно выразить в виде производной от энергии поля по изменяющейся координате На рис. 19.24, б изображен плоский конденсатор, который присоединен к источнику напряжения U. В соответствии с предыдущим расстояние между пластинами назовем х, а площадь пластины - S. Под действием этих сил пластины конденсатора стремятся сблизиться. Сила, действующая на нижнюю пластину, направлена вверх, на верхнюю пластину - вниз.

Положим, что под действием силы F нижняя пластина медленно (теоретически бесконечно медленно) переместилась вверх на расстояние dx и приняла положение, показанное пунктиром на рис. 19.24, б. Составим уравнение для баланса энергии при таком перемещении пластин. На основании закона сохранения энергии доставленная источником питания энергия dW H должна равняться сумме трех слагаемых: 1) работе силы F на расстоянии dx, 2) изменению энергии электрического поля конденсатора dW, 3) тепловым потерям от тока i t который протекает по проводам сопротивлением R в течение времени от 0 до «:

В общем случае при перемещении пластины могут измениться и напряжение между пластинами U, и заряд Q.

Рассмотрим теперь два характерных частных случая перемещения пластины конденсатора. В первом конденсатор отсоединен от источника напряжения и перемещение пластины происходит при неизменных зарядах на пластинах. Во втором перемещение пластины происходит при неизменном напряжении U между пластинами (конденсатор присоединен к источнику неизменного напряжения U).

Первый случай. Так как конденсатор отсоединен от источника энергии, то последний энергии не доставляет и потому dW^ - 0. При этом F ^-dW^ldx.

Таким образом, сила, действующая на пластину, равна взятой с обратным знаком производной от энергии электрического поля конденсатора по изменяющейся координате. Знак минус свидетельствует о том, что в рассматриваемом случае работа силы производится за счет убыли энергии в электрическом поле конденсатора.

Если учесть, что энергия электрического поля конденсатора W^=Q 2 !{2С) = = Q 2 х/(2 с а 5), то модуль силы F равен dW y Idx = Q 1 /(2 e t 5) = e, E 2 S/2.

Второй случай. Энергия, доставляемая источником питания при U - const на приращение заряда равна dV H =U dQ = U 2 dC. где dC - приращение емкости, вызванное уменьшением расстояния между пластинами на dx.

Изменение энергии электрического поля конденсатора dW,=d{CU 2 /2) = (/ 2 dCI2. Разность dW H -dW =U 2 dC-U 1 dC!2-dW ,. Поэтому во втором случае

Таким образом, и во втором случае сила равна производной от энергии электрического поля по изменяющейся координате.

Емкость C=e t 5/jr, поэтому

Сила, действующая на пластину конденсатора во втором случае, равна силе, действующей на пластину конденсатора в первом случае. На единицу поверхности конденсатора действует сила F!S-z b Е 2 12. Обратим внимание на то, что величина Е 2 12 не только выражает собой плотность энергии электрического поля, но и численно равна силе, действующей на единицу поверхности пластины конденсатора. Действующие на пластины конденсатора силы можно рассматривать как результат проявления сил продольного сжатия (вдоль силовых трубок) и сил бокового распора (поперек силовых трубок). Силы продольного сжатия стремятся укоротить силовую трубку, а силы бокового распора - расширить ее. На единицу боковой поверхности силовой трубки действует сила, численно равная е ш Е 2 12. Эти силы проявляются не только в виде сил, действующих на пластины конденсатора, но также в виде сил на границе раздела двух диэлектриков. В этом случае на границе раздела действует сила, направленная в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью.

Рассмотрим процесс зарядки уединенного проводника. Чтобы его заряд достиг величины Q , будем сообщать проводнику заряд порциями dq , перенося их из бесконечно удаленной точки 1 на поверхность проводника в точку 2 (рис. 3.14). Для передачи проводнику новой порции заряда
внешние силы должны совершить работу против сил электрическогополя: . Поскольку проводник уединенный (точка1 бесконечно далека от проводника), то
. Потенциал точки2 равен потенциалу проводника . Поэтому
. Если проводнику передан зарядq , то его потенциал
. Полная работа внешних сил по зарядке проводника до значения зарядаQ будет равна

Согласно закону сохранения энергии, работа внешних сил по зарядке проводника увеличивает энергию создаваемого электростатического поля, т.е. проводник запасает определенную энергию:

. (3.13)

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора от источника ЭДС. Источник в процессе зарядки переносит заряды с одной пластины на другую, причем сторонние силы источника совершают работу по увеличению энергии конденсатора:

где Q – заряд конденсатора после зарядки. Тогда энергия электрического поля, созданного конденсатором, определится как

. (3.14)

Выражение (3.14) позволяет записать величину энергии электростатического поля двумя способами:

и
.

Сопоставление двух соотношений позволяет задать вопрос: что является носителем электрической энергии? Заряды (первая формула) или поле (вторая формула)? Оба записанных равенства прекрасно согласуются с результатами экспериментов, т.е. расчет энергии поля можно одинаково правильно вести по обеим формулам. Однако такое наблюдается только в электростатике, т.е. когда осуществляется расчет энергии поля неподвижных зарядов. При рассмотрении теории электромагнитного поля в дальнейшем (гл. 8) мы увидим, что электрическое поле может создаваться не только неподвижными зарядами. Электростатическое поле – это частный случай электромагнитного поля, существующего в пространстве в виде электромагнитной волны. Его энергия распределена в пространстве с определенной плотностью. Введем понятие объемной плотности энергии поля следующим образом.

Преобразуем последнее равенство (3.14) для случая плоского конденсатора, воспользовавшись связью разности потенциалов и напряженности однородного поля:

где
– объем конденсатора, т.е. объем части пространства, в котором создано электрическое поле.

Объемной плотностью энергии поля называется отношение энергии поля, заключенного в малом объеме пространства к этому объему:

. (3.15)

Следовательно, энергию однородного электрического поля можно рассчитать так:
.

Сделанный вывод можно распространить на случай неоднородного поля таким образом:

, (3.16)

где
– такой элементарный объем пространства, в пределах которого поле можно считать однородным.

Для примера рассчитаем энергию электрического поля, созданного уединенным металлическим шаром радиусом R , заряженным зарядом Q , и находящимся в среде с относительной диэлектрической проницаемостью . Повторив рассуждения примера из п.2.5, получим модуль напряженности поля в виде функции
:

Тогда выражение для объемной плотности энергии поля примет вид:

Поскольку напряженность поля зависит только от радиальной координаты, то она будет практически постоянна в пределах тонкого сферического слоя с внутренним радиусом r и толщиной

(рис. 3.15). Объем этого слоя

. Тогда энергия поля определится так:

Аналогичный результат мы бы получили, если бы вычисляли энергию заряженного шара по формуле (3.13), воспользовавшись (3.6):

Однако следует помнить, что такой способ неприменим, если необходимо найти энергию электрического поля, заключенную не во всем объеме поля, а лишь в его части. Также метод расчета по формуле (3.13) нельзя использовать при определении энергии поля системы, для которой неприменимо понятие “емкость”.

Если проводник поместить во внешнее электростатическое поле, то оно будет действовать на его заряды, которые начнут перемещаться. Это процесс протекает очень быстро, после его завершения устанавливается равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника оказывается равным нулю. С другой стороны, отсутствие поля внутри проводника говорит об одном и том же значении потенциала в любой точке проводника, а также о том, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника перпендикулярен ей. Если бы это было не так, появилась бы составляющая вектора напряженности, направленная по касательной к поверхности проводника, что вызвало бы перемещение зарядов, и равновесное распределение зарядов нарушилось бы.

Если мы зарядим проводник, находящийся в электростатическом поле, то, заряды у него будут располагаться только на внешней поверхности, так как, в соответствии с теоремой Гаусса, из-за равенства нулю напряженности поля внутри проводника нулю будет равен и интеграл от вектора электрического смещения D по замкнутой поверхности, совпадающей с внешней поверхностью проводника, который, как было установлено ранее, должен быть равен заряду внутри названной поверхности, т. е. нулю. При этом возникает вопрос о том, можем ли мы сообщить такому проводнику любой, сколь угодно большой заряд, Чтобы получить ответ на этот вопрос, найдем связь между поверхностной плотностью заряда и напряженностью внешнего электростатического поля.

Выберем бесконечно малый цилиндр, пересекающий границу «проводник – воздух» так, чтобы его ось была ориентирована вдоль вектора Е . Применим к этому цилиндру теорему Гаусса. Понятно, что поток вектора электрического смещения вдоль боковой поверхности цилиндра будет равна нулю из-за равенства нулю напряженности поля внутри проводника. Поэтому полный поток вектора D через замкнутую поверхность цилиндра будет равен только потоку через его основание. Этот поток, равный произведению D∆S , где ∆S – площадь основания, равен суммарному заряду σ∆S внутри поверхности. Иными словами, D∆S = σ∆S , откуда следует, что

D = σ , (3.1.43)

тогда напряженность электростатического поля у поверхности проводника

E = σ /(ε 0 ε) , (3.1.44)

где ε – диэлектрическая проницаемость среды (воздуха), которая окружает проводник.

Поскольку поле внутри заряженного проводника отсутствует, то создание внутри него полости ничего не изменит, т. е. не повлияет на конфигурацию расположения зарядов на его поверхности. Если теперь проводник с такой полостью заземлить, то потенциал во всех точках полости будет равен нулю. На этом основана электростатическая защита измерительных приборов от влияния внешних электростатических полей.

Теперь рассмотрим проводник, удаленный от других проводников, других зарядов и тел. Как нами было установлено ранее, потенциал проводника пропорционален его заряду. Опытным путем было установлено, что проводники, изготовленные из разных материалов, будучи заряженными до одного и того же заряда, обладают разными потенциалами φ . И наоборот, у проводников из разных материалов, имеющих одинаковый потенциал, различаются заряды. Поэтому мы можем записать, что Q = Cφ, где

C = Q/φ (3.1.45)

называется электроемкостью (или просто емкостью ) уединенного проводника. Единицей измерения электроемкости является фарад (Ф), 1 Ф – емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда, равного 1 Кл.

Поскольку, как было установлено ранее, потенциал шара радиуса R в диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью ε

φ =(1/4πε 0)Q/εR , (3.1.46)

то с учетом 3.1.45 для емкости шара получим выражение

C = 4πε 0 εR . (3.1.47)

Из 3.1.47 следует, что емкостью в 1 Ф обладал бы шар в вакууме и имеющий радиус порядка 9*10 9 км, что в 1400 раз превышает радиус Земли. Это говорит о том, что 1 Ф – это очень большая электроемкость. Емкость Земли, например, всего около 0.7 мФ. По этой причине на практике пользуются миллифарадами (мФ), микрофарадами (мкФ), нанофарадами (нФ) и даже пикофарадами (пФ). Далее, поскольку ε – безразмерная величина, то из 3.1.47 получаем, что размерность электрической постоянной ε 0 – Ф/м.

Выражение 3.1.47 говорит о том, что проводник может обладать большой емкостью только при очень больших размерах. В практической же деятельности требуются устройства, которые при небольших размерах были бы способны накапливать большие заряды при сравнительно небольших потенциалах, т. е. имели бы большие емкости. Такие устройства называются конденсаторами .

Мы уже говорили о том, что, если к заряженному проводнику приближать проводник или диэлектрик, на них будут наводиться заряды так, что на ближайшей к заряженному проводнику стороне привносимого тела возникнут заряды противоположного знака. Такие заряды будут ослаблять то поле, которое создается заряженным проводником, и это будет понижать его потенциал. Тогда, в соответствии с 3.1.45, мы можем говорить об увеличении емкости заряженного проводника. На такой основе как раз и создают конденсаторы.

Обычно конденсатор состоит из двух металлических обкладок , разделенных диэлектриком . Его конструкция должна быть такой, чтобы поле было сосредоточено только между обкладками. Этому требованию удовлетворяют две плоские пластины , два коаксиальных (имеющих одну и ту же ось) цилиндра разного диаметра и две концентрические сферы . Поэтому конденсаторы, построенные на таких обкладках, называются плоскими , цилиндрическими и сферическими . В повседневной практике чаще используют два первых типа конденсаторов.

Под емкостью конденсатора понимают физическую величину С , которая равна отношению заряда Q , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (φ 1 – φ 2 ), т. е.

C = Q /(φ 1 – φ 2) . (3.1.48)

Найдем емкость плоского конденсатора, который состоит из двух пластин площадью S , отстоящих друг от друга на расстояние d и имеющих заряды +Q и –Q . Если d мало по сравнению с линейными размерами пластин, то краевыми эффектами можно пренебречь и считать поле между обкладками однородным. Поскольку Q = σS , а, как было показано ранее, разность потенциалов между двумя разноименно заряженными пластинами с диэлектриком между ними φ 1 – φ 2 = (σ /ε 0 ε)d, то после подстановки этого выражения в 3.1.48 получаем

C = ε 0 εS/d . (3.1.49)

Для цилиндрического конденсатора длиной l и радиусами цилиндров r 1 и r 2

C = 2πε 0 εl/ln(r 2 /r 1) . (3.1.50)

Из выражений 3.1.49 и 3.1.50 хорошо видно, как можно увеличить емкость конденсатора. Прежде всего, для заполнения пространства между обкладками следует использовать материалы с максимально большой диэлектрической проницаемостью. Другим очевидным способом повышения емкости конденсатора является уменьшение расстояния между обкладками, однако у этого способа имеется важный ограничитель – пробой диэлектрика , т. е. электрический разряд через слой диэлектрика. Разность потенциалов, при которой наблюдается электрический пробой конденсатора, называется пробивным напряжением . Для каждого типа диэлектрика эта величина своя. Что же касается увеличения площади пластин плоского и длины цилиндрического конденсаторов для увеличения их емкости, то всегда существуют чисто практические ограничения размеров конденсаторов, чаще всего это размеры всего прибора, в состав которого входит конденсатор или конденсаторы.

Для того чтобы была возможность увеличивать или уменьшать емкость, на практике широко используется параллельное или последовательное соединение конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одна и та же и равна φ 1 – φ 2 , а заряды на них будут равны Q 1 = C 1 (φ 1 – φ 2) , Q 2 = C 2 (φ 1 – φ 2) , … Q n = C n (φ 1 – φ 2) , поэтому полный заряд батареи из конденсаторов Q будет равен сумме перечисленных зарядов ∑Q i , которая в свою очередь равна произведению разности потенциалов (φ 1 – φ 2) на полную емкость С = ∑C i . Тогда для полной емкости конденсаторной батареи мы получаем

C = Q/(φ 1 – φ 2) . (3.1.51)

Иными словами, при параллельном соединении конденсаторов полная емкость конденсаторной батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

При последовательном соединении конденсаторов заряды на обкладках равны по модулю, а полная разность потенциалов ∆φ батареи равна сумме разностей потенциалов ∆φ 1 на зажимах отдельных конденсаторов. Поскольку для каждого конденсатора ∆φ 1 = Q/C i , то ∆φ = Q/C =Q ∑(1/C i) , откуда получаем

1/C = ∑(1/C i) . (3.1.52)

Выражение 3.1.52 означает, что при последовательном соединении конденсаторов в батарею суммируются величины, обратные емкостям отдельных конденсаторов, при этом суммарная емкость оказывается меньше самой маленькой емкости.

Мы уже говорили о том, что электростатическое поле потенциально. Это значит, что любой заряд в таком поле обладает потенциальной энергией. Пусть имеется проводник в поле, для которого известны заряд Q , емкость C и потенциал φ , и пусть нам необходимо увеличить его заряд на dQ . Для этого надо совершить работу dA = φdQ = Сφdφ по перенесению этого заряда из бесконечности на проводник. Если же нам надо зарядить тело от нулевого потенциала до φ , то придется совершить работу, которая равна интегралу от Сφdφ в указанных пределах. Понятно, что интегрирование даст следующее уравнение

А = Сφ 2 /2 . (3.1.53)

Эта работа идет на повышение энергии проводника. Поэтому для энергии проводника в электростатическом поле можно записать

W = Сφ 2 /2 = Q φ/2 = Q 2 /(2C) . (3.1.54)

Конденсатор, как и проводник, тоже обладает энергией, которая может быть вычислена по формуле, подобной 3.1.55

W = С(∆φ) 2 /2 = Q∆φ/2 = Q 2 /(2C) , (3.1.55)

где ∆φ – разность потенциалов между обкладками конденсатора, Q – его заряд, а С – емкость.

Подставим в 3.1.55 выражение для емкости 3.1.49 (C = ε 0 εS/d ) и учтем, что разность потенциалов ∆φ = Ed , получим

W = (ε 0 εS/d)(Ed 2)/2 = ε 0 εE 2 V/2 , (3.1.56)

где V = Sd . Уравнение 3.1.56 показывает, что энергия конденсатора определяется напряженностью электростатического поля. Из уравнения 3.1.56 можно получить выражение для объемной плотности электростатического поля

w = W/V = ε 0 εE 2 /2 . (3.1.57)

Контрольные вопросы

1. Где располагаются электрические заряды у заряженного проводника?

2. Чему равна напряженность электростатического поля внутри заряженного проводника?

3. От чего зависит напряженность электростатического поля у поверхности заряженного проводника?

4. Как обеспечивается защита приборов от внешних электростатических помех?

5. Что такое электроемкость проводника и какова единица ее измерения?

6. Какие устройства называются конденсаторами? Какие типы конденсаторов существуют?

7. Что понимают под емкостью конденсатора?

8. Каковы способы увеличения емкости конденсатора?

9. Что такое пробой конденсатора и пробивное напряжение?

10. Как вычисляется емкость конденсаторной батареи при параллельном соединении конденсаторов?

11. Чему равна емкость конденсаторной батареи при последовательном соединении конденсаторов?

12. Как вычисляется энергия конденсатора?

Понравилась статья? Поделитесь ей

Распечатать статью